Критерий Пирсона (хи-квадрат): формула, степени свободы и пример расчёта

Критерий Пирсона, он же критерий хи-квадрат (χ²), проверяет, случайно ли наблюдаемые частоты отличаются от ожидаемых. Для каждой категории берёте разницу между фактом и ожиданием, возводите в квадрат, делите на ожидание и всё складываете. Сумму сравниваете с критическим значением для своего числа степеней свободы или смотрите на p-значение: если p меньше 0,05, расхождение считают неслучайным.

Не путайте его с коэффициентом корреляции Пирсона. Корреляция меряет связь двух числовых величин, например роста и веса, и про неё у нас есть отдельный разбор корреляции. Хи-квадрат работает с категориями и их количеством: грани кубика, «купил» и «не купил», варианты ответа в анкете.

CheckroiПодборка курсов по статистике42 курса • 20 школСравните цены, школы, программу и найдите выгодные предложения по обучениюСравнить→

Две задачи, которые решает критерий хи-квадрат

Карл Пирсон описал критерий в статье 1900 года в журнале Philosophical Magazine. Сейчас им решают две разные задачи. Формула у них одна, а ожидаемые частоты и степени свободы считаются по-разному.

Здесь k означает число категорий, m показывает, сколько параметров распределения вы оценили по той же выборке, а r и c равны числу строк и столбцов таблицы.

Задача на согласие: честный ли кубик, подчиняются ли данные нормальному закону. Задача на независимость: зависит ли покупка от версии лендинга в A/B-тесте, по-разному ли отвечают на анкету мужчины и женщины. Обе встречаются в работе статистика и аналитика, а учат им на курсах по анализу данных.

Формула критерия Пирсона и степени свободы

χ² = Σ (O − E)² / E

O — наблюдаемая (фактическая) частота в ячейке
E — ожидаемая частота в той же ячейке

Чем больше χ², тем сильнее данные расходятся с нулевой гипотезой. Ноль получается, только когда факт совпадает с ожиданием в каждой ячейке.

Степени свободы показывают, сколько ячеек могут меняться свободно при заданных итогах. Для критерия согласия это число категорий минус единица минус число параметров, оценённых по выборке. Проверяете нормальность и берёте среднее и стандартное отклонение из тех же данных? Вычитайте ещё два. Так же считает справочник NIST по инженерной статистике.

Для таблицы сопряжённости правило проще: (строки − 1) × (столбцы − 1). Его же приводит справка Microsoft по функции ХИ2.ТЕСТ.

Критические значения для уровней значимости 0,05 и 0,01 мы посчитали функцией chi2.ppf из SciPy:

Если ваш χ² больше числа из таблицы, нулевую гипотезу отвергают.

Как посчитать критерий Пирсона вручную

Возьмём кубик, который бросили 120 раз. Если он честный, каждая грань должна выпасть примерно 20 раз. Такие броски легко смоделировать самому модулем random в Python и посмотреть, как χ² ведёт себя на честных данных.

1. Сформулируйте гипотезы. H₀: кубик честный, все грани равновероятны. H₁: какие-то грани выпадают чаще других.
2. Выберите уровень значимости до расчёта. Чаще всего берут α = 0,05.
3. Посчитайте ожидаемые частоты: 120 / 6 = 20 для каждой грани.
4. Для каждой грани посчитайте (O − E)² / E и сложите результаты.
5. Найдите степени свободы: 6 − 1 = 5.
6. Сравните сумму с критическим значением из таблицы выше.

Получилось χ² = 5,0. Критическое значение для пяти степеней свободы и α = 0,05 равно 11,07. Пять меньше 11,07, значит, оснований считать кубик нечестным нет. Точное p-значение здесь 0,416.

Обратите внимание на формулировку. Тест не доказал, что кубик честный. Он только не нашёл расхождения, которое трудно списать на случай, а небольшой перекос на 120 бросках вполне может пропустить. С корреляцией история та же: нулевой коэффициент не доказывает, что связи нет, об этом подробнее в разборе корреляции.

Пример с таблицей сопряжённости: A/B-тест лендинга

Две версии лендинга получили по 1 000 посетителей. На версии А купили 120 человек, на версии Б 150. Разница в три процентных пункта настоящая или случайная?

Ожидаемая частота ячейки = итог строки × итог столбца / общий итог. Для «купили» на лендинге А это 1 000 × 270 / 2 000 = 135. Так же получаются остальные три ячейки: 865, 135 и 865.

χ² = (120 − 135)²/135 + (880 − 865)²/865 + (150 − 135)²/135 + (850 − 865)²/865
   = 1,667 + 0,260 + 1,667 + 0,260 = 3,85

Степень свободы одна: (2 − 1) × (2 − 1). Критическое значение 3,84, наш χ² = 3,85 чуть больше, p = 0,0496. Формально различие значимо.

Но для таблиц 2 × 2 часто применяют поправку Йетса на непрерывность: каждое наблюдаемое значение сдвигают на 0,5 к ожидаемому. С ней χ² = 3,60, p = 0,058, и вывод меняется на противоположный.

По такому пограничному результату мы бы не объявляли победу лендинга Б: честнее продолжить тест и набрать ещё посетителей. Как не обмануться на результатах, мы подробно разобрали в статье про A/B-тестирование.

Как рассчитать критерий Пирсона в Excel

В Excel для хи-квадрата есть три функции, и важно не перепутать, что каждая возвращает.

Порядок действий для кубика:

1. В строку 1 впишите номера граней, в строку 2 фактические частоты, ячейки B2:G2.
2. В B3 введите ожидаемую частоту =СУММ($B$2:$G$2)/6 и протяните формулу до G3.
3. В свободную ячейку введите =ХИ2.ТЕСТ(B2:G2;B3:G3), получится около 0,416.
4. Если нужен сам χ², посчитайте его формулой =СУММПРОИЗВ((B2:G2-B3:G3)^2/B3:G3), выйдет 5.

Две ловушки. Ожидаемые частоты Excel сам не считает, для таблицы сопряжённости их надо вывести формулой «итог строки × итог столбца / общий итог». А в формуле из справки по ХИ2.ТЕСТ нет поправки Йетса, поэтому для A/B-примера функция покажет вариант без поправки.

Перед расчётом полезно посмотреть на данные глазами. Постройте гистограмму в Excel, и сильный перекос станет виден ещё до всяких формул.

Критерий Пирсона в Python: chisquare и chi2_contingency

В Python хи-квадрат считают библиотекой SciPy. Поставьте её командой pip install scipy, лучше в виртуальном окружении.

Критерий согласия считает функция scipy.stats.chisquare:

from scipy.stats import chisquare

observed = [25, 17, 15, 23, 24, 16]   # сколько раз выпала каждая грань
expected = [20, 20, 20, 20, 20, 20]   # честный кубик: 120 / 6

stat, p = chisquare(observed, expected)
print(f"хи-квадрат = {stat:.2f}, p = {p:.3f}")

хи-квадрат = 5.00, p = 0.416

Если ожидаемые частоты не передать, функция считает категории равновероятными, для кубика результат будет тем же. Оценивали параметры распределения по выборке? Укажите их число в аргументе ddof, и степеней свободы станет k − 1 − ddof.

Для таблицы сопряжённости есть scipy.stats.chi2_contingency. Ожидаемые частоты и степени свободы она находит сама:

from scipy.stats import chi2_contingency

#          купили  не купили
table = [[120,    880],    # лендинг А
         [150,    850]]    # лендинг Б

res = chi2_contingency(table)
print(f"хи-квадрат = {res.statistic:.2f}, p = {res.pvalue:.3f}, df = {res.dof}")
print("ожидаемые частоты:")
print(res.expected_freq)

res_raw = chi2_contingency(table, correction=False)
print(f"без поправки Йетса: хи-квадрат = {res_raw.statistic:.2f}, p = {res_raw.pvalue:.3f}")

хи-квадрат = 3.60, p = 0.058, df = 1
ожидаемые частоты:
[[135. 865.]
 [135. 865.]]
без поправки Йетса: хи-квадрат = 3.85, p = 0.050

По умолчанию функция применяет поправку Йетса, когда степень свободы одна, так написано в документации SciPy. Поэтому Python и Excel на одной таблице 2 × 2 дают разные p, и ошибки здесь нет ни у того, ни у другого.

Силу связи покажет функция scipy.stats.contingency.association. Она умеет считать V Крамера и коэффициент сопряжённости Пирсона:

from scipy.stats.contingency import association

table = [[120, 880],
         [150, 850]]

print(f"V Крамера = {association(table, method='cramer'):.3f}")
print(f"коэффициент сопряжённости Пирсона = {association(table, method='pearson'):.3f}")

V Крамера = 0.044
коэффициент сопряжённости Пирсона = 0.044

Оба коэффициента лежат между 0 и 1. Значение 0,044 близко к нулю, связь слабая. Если хотите считать такие вещи уверенно, начните с основ языка:

CheckroiПодборка курсов по Python568 курсов • 51 школаСравните цены, школы, программу и найдите выгодные предложения по обучениюСравнить→

Канал основателя Checkroi Вани БуявцаЗабирайте промпты и обучение по нейросетям в моём Телеграм-каналеБольше 3 700 человек уже применяют Claude Code, ChatGPT и другие нейросети в работе, учёбе, бизнесе и жизниПерейти в канал→

Частые ошибки и когда критерий не подходит

• Мало наблюдений в ячейках. В документации SciPy типичным правилом названы наблюдаемые и ожидаемые частоты не меньше 5 в каждой категории. В справке Microsoft осторожнее: «некоторые специалисты по статистике» считают, что ожидаемая частота должна быть от 5. Решение: объединить редкие категории, а для таблицы 2 × 2 взять точный критерий Фишера, в SciPy это fisher_exact.
• Проценты вместо количеств. χ² зависит от объёма выборки, поэтому доли и проценты в формуле дают неверную статистику. Решение: подставлять только абсолютные частоты.
• Одно наблюдение попадает в несколько ячеек. Критерий рассчитан на независимые наблюдения: один человек занимает одну ячейку. Если в анкете можно отметить несколько вариантов, обычный хи-квадрат к ней не подходит.
• Значимость путают с силой связи. В A/B-примере V Крамера 0,044, связь слабая даже при p около 0,05. На выборке в сотни тысяч человек значимым становится и крошечное расхождение.
• Не вычли оценённые параметры. Проверяя нормальность со средним и разбросом из той же выборки, отнимайте ещё две степени свободы. Иначе степеней свободы окажется больше, критическое значение выйдет завышенным, и расхождение с нормальным законом вы будете пропускать.
• Подогнали интервалы под ответ. Для непрерывных данных χ² зависит от того, как вы разбили значения на интервалы, это прямо отмечает NIST. Решение: выбрать интервалы до расчёта и больше их не трогать.

Где освоить статистику системно

Хи-квадрат лишь один из критериев, которые нужны аналитику. Рядом с ним стоят t-тест, дисперсионный анализ и регрессия, и без системы легко взять не тот метод. Если думаете о профессии, посмотрите план, как стать статистиком. Сравнить программы можно в каталоге курсов по статистике, пять из них ниже:

Курс	Школа	Стоимость со скидкой	В рассрочку	Длитель­ность	Обзор курса от Checkroi
Статистика и A/B-тестирование Перейти на сайт курса	Бруноям	24 900 ₽	1658 ₽/мес.	2 месяца	Обзор курса
Теория вероятностей и математическая статистика Перейти на сайт курса	GeekBrains	15 000 ₽	417 ₽/мес.	1 месяц	Обзор курса
Основы практической статистики Перейти на сайт курса	Нетология	4800 ₽	-	14 дней	Обзор курса
Экономика и статистика Перейти на сайт курса	МИТУ	45 000 ₽	6250 ₽/мес.	54 месяца	Обзор курса
Профессиональная переподготовка «Медицинская статистика» Перейти на сайт курса	ЕЦО	21 500 ₽	3916 ₽/мес.	288 часов	Обзор курса

• 

  Статистика и A/B-тестирование

  Бруноям24 900 ₽1658 ₽/мес2 месяца
  Перейти на сайт курсаОбзор
• 

  Теория вероятностей и математическая статистика

  GeekBrains15 000 ₽417 ₽/мес1 месяц
  Перейти на сайт курсаОбзор
• 

  Основы практической статистики

  Нетология4800 ₽14 дней
  Перейти на сайт курсаОбзор
• 

  Экономика и статистика

  МИТУ45 000 ₽6250 ₽/мес54 месяца
  Перейти на сайт курсаОбзор
• 

  Профессиональная переподготовка «Медицинская статистика»

  ЕЦО21 500 ₽3916 ₽/мес288 часов
  Перейти на сайт курсаОбзор

Больше программ — в полном каталоге курсов по статистике